G´eom´etries non-euclidiennes

La g´eom´etrie euclidienne repose sur une s´erie d’axiomes et de postulats (´enonc´es pas ´evidents, une d´efinition est un postulat d’existence). Un grand postulat d’Euclide est le fait qu’il ne passe qu’une droite et une seule parall`ele en un point ext´erieur `a une droite. Un postulat equivalent joue sur l’equivalence d’angles. Les Arabes ne vont pas l’accepter comme un postulat, il vont tenter de le d´emontrer. Ils vont proc´eder par l’absurde : nier le postulat pour arriver `a des contradictions. Ils n’y arrivent pas. Au XVIIIe si`ecle, Saccheur et Lambert tentent `a leur tour, mais ne parviennent pas `a d´emontrer le postulat d’Euclide. On n’arrive pas `a d´emontrer non plus qu’il est faux. Se d´evelopper donc une g´eom´etrie ne reposant pas sur le postulat, la g´eom´etrie “anti-euclidienne” qui cherche `a d´emontrer Euclide.

Au XIXe si`ecle, 3 savants d´ecouvrent presque en mˆeme temps qu’il y a bien plus en jeu : Gauss

(1777-1855) montre qu’en niant Euclide, il trouve une s´erie de th´eor`emes et se rend compte que c’est une nouvelle g´eom´etrie tout aussi valable. Une cons´equence de sa g´eom´etrie : la somme des angles d’un triangle ne valent plus deux angles droits. Gauss ne publie pas ces r´esultats. Il trouve une g´eom´etrie coh´erente qui suffit `a elle-mˆeme, mais qui est bizarre car par exemple, par un point ext´erieur `a une droite ne passe aucune droite parall´ele.

sur une sph`ere, une droite devient un grand cercle, et si un point est l’intersection entre deux droites, ¸ca devient des “bipoints”. Dans cette sph`ere, le postulat d’Euclide est faux.

Labatcgevsky (1793-1856) fait une autre n´egation du postulat : il dit qu’il passe deux ou plusieurs droites parall´eles par un point ext´erieur. D`es lors, la somme des angles d’un triangle est inf´erieur `a deux angles droits.

Bolyai (1802-1860) d´efinit aussi sa propre n´egation.

Ces trois savants ont donc invent´e la g´eom´etrie non-euclidienne.

Le disciple de Gauss, Riemann (1826-1866) ´etablira une vraie th´eorie de la g´eom´etrie non-euclidienne.

Le statut de v´erit´e en math´ematiques change, puisqu’on peut nier des postulats, ce qui m`ene `a deux g´eom´etries vraies. Mais quelle g´eom´etrie correspond `a la r´ealit´e du monde physique ? On distingue d`es lors v´erit´e et r´ealit´e, il y a une v´eritable s´eparation entre math´ematiques (qui cherchent la coh´erence et `a ´eviter la contradiction) et la physique.

Les g´eom´etrise non-euclidiennes ne sont pas facilement re¸cues. Frey, ´eminent logicien, dit que si Euclide est vrai, alors n´ecessairement Riemann est faux.

Hilbert continue le travail de Gauss et des autres, et va se retrouver confront´e `a Brouwer. Hilbert tente d’axiomatiser la g´eom´etrie. Il dit qu’on peut ˆetre coh´erent et faux. Hilbert va d´emontrer une s´erie de choses sur des objets abstraits mais qui sont vraies. Brouwer exige plutˆot qu’il travaille sur du concret.