Les nombres

Qu’est-ce qu’un un nombre ? La notion vient du d´enombrement, et les nombres sont au d´ebut des entiers strictement positifs, c’est une d´emarche naturelle. Tr`es vite, on ´elargit ce concept de nombre pour inclure les fractions enti`eres (1 au num´erateur). On vient ensuite aux rationnels. Les “anciens” s’arrˆetent l`a (Egyptiens, Sum´eriens...).

En Gr`ece, Pythagore r´epond aux physiologuqes ioniens (Qu’est-ce que le monde autour de nous ?) : tout est nombre, tout chose a son nombre. Ces nombres sont importants, car ils sont li´es au divin de par leurs propri´et´es miraculeuses, mise en ´evidence par les phythagoriciens.

Les Arabes vont amener les chiffres, le 0 et l’alg`ebre. Les chiffres arabes sont en fait indiens. Il y avait 10 chiffres : les 9 attendues et un chiffre “vide” permettant d’exprimer des nombres grands en num´erotation de position. C’est diff´erent d’admettre z´ero comme un nombre, et ce n’est pas fait par les math´ematiciens arabe. Cette r´evolution vient plus tard. Le 0 n’est ici pas un objet math´ematique. L’alg`ebre d’Al-Khwarizmi, de la maisson de la Sagesse de Bagdad au IXe si`ecle, est nouvelle branche des math´ematiques. Il travaille sur les ´equations du 2em degr´e, et donne des m´ethodes de r´esolution de telles ´equations, appell´es algorithmes. Il va d’abord classes les ´equations du 2em degr´e. Remarque : ax2 + bx + c = 0 n’est pas du tout ce qu’Al-Khwarizmi voyait quand il pensait a des ´equations du 2em degr´e. Pour lui, un telle ´equation est par exemple : “le carr´e et sept fois sa racine font 8”. La notation moderne est bourr´ee d’abstraction, fruits d’une tr`es longue ´evolution. De plus, les coefficients sont r´eels. Al-Khwarizmi utilise des coefficients entiers positifs, et ne prend que les racines rationnelles positives.

Notons que les Sum´eriens savent r´esoudre des ´equations du 2em degr´e sans savoir qu’ils en font, tandis qu’Al-Khwarizmi, lui, le sait, et propose des algorithmes de r´esolution pour chaque classe d’`equation. Le simple fait de classer n´ecessite la compr´ehension du concept d’´equations. Si il a l’´equation 2x2 + 100 − 20x = 58, Al-Khwarizmi emplie sa m´ethodologie nouvelle, l’alg`ebre, pour la remener `a une de ses six classes.

Il d´emontre la validit´e de ses algorithmes en forme de textes. Il en fait une d´emonstration g´eom´etrique. Il n’accepte que les racines positives. Il rejette les racines n´egatives, car un cˆot´e de carr´e de longueur n´egative n’a pas de sens, pas plus que le z´ero, le n´eant, qui n’existe pas de toutes fa¸cons. N´eanmoins, les Arabes parviennent `a fournir une folle quantit´e de r´esultats malgr´e ces limitations. Omar Khayyam s’attaque aux ´equations du 3em degr´e : x3 +ax2 +bx+c = 0. Il substitue x2 = 2py, et voit l’´equation comme l’intersection entre cette parabole et une hyperbole 2pxy + 2apy + b2x + c3. Saut ensuite vers la Renaissance italienne, o`u on a progress´e dans les notations. L’alg`ebre s’est d´evelopp´e en dehors des universit´es italiennes. Dans les ann´ees 1300-1400, il y a une explosion de banques. qui dit banques, dit calcul. Les comptables vont inventer la comptabilit´e `a entr´ees doubles et s’inventent des notations : +, =. De plus, on travaille avec les nombres n´egatifs (perte = moins un b´en´efice). Le milieu bancaire est s´epar´e du milieu intellectuel, on voit surgir cette math´ematique pratique.

A cette ´epoque sont lanc´es des d´efis math´ematiques. Tartaglia d´ecouvre une mani`ere de r´esoudre la racine de l’´equation du 3em degr´e, la confie `a Cardano. L`a o`u ¸ca devient int´eresasnt, est que son algorithme donne des r´esultast parfois incroyables, o`u on se trouve avec des racines de n´egatifs. Bombelli a une pens´ee sauvage : il va traiter p −1 comme un vrai nombre, ce qui est contre toute rigueur, c’est scandaleux. N´eanmoins, son syt`eme marche ! D`es lors, on utilise et on admet p −1, du moins lors des calculs interm´ediaire. La pratique oblige `a reconnaˆıtre de nouveau types de nombres. Le nombre dit imaginaire p −1 n’a donc pas ´et´e invent´e par les math´ematiciens, il a ´et´e reconnu pour sa pr´esence dans la pratique.

Les nombres n´egatifs viennent donc avec les banques, `a la mˆeme p´eriode que

−1 qui conforte le concept de nombre n´egatif. D`es lors, le z´ero entre en jeu comme la charni`ere entre positifs et n´egatifs.

Un des plus grands effort du XVIIIe si`ecle est le classement des fonctions par Euler. Au XVIIIe naˆıt l’analyse. Les choses se passent de mani`ere tr`es empirique. On travaille sur l’intuition : il y a une continuit´e dans les solutions d’´equations ;

Le XIXe si`ecle met de la rigueur. On se pose la question de la d´efinition des nombres entiers, des rationnels, des r´eels. Qu’est-ce que

Au XVII-XVIII, l’intuition r`egne en math, on accepte les choses sans les doner. Le XIXe est marqu´e par un gigantesque effort d’axiomatisation des maths, notamment de Dedekind et Cantor. Ils vont adopter la notion de coupure, grace `a laquelle ils vont d´efinir les r´eels `a partir des rationnels. On tente donc de d´efinir ce qui est admis dans la pratique parfois depuis des si`ecles.