D´emocrite dit que le cˆone n’existe pas, parce que si on le coupe en tranches, c’est soit un cylindre, soit un cˆone si il n’a pas des tranches de mˆeme diam`ete. Les paradoxes de Z´enon sont une autre illustration de l’infiniment petit.

Qu’est-ce qu’une vitesse instantan´ee ? Un corps qui tombe passe-t-il par “tous les degr´es de vitesse”? Galil´ee affirme que c’est le cas, sans aucun fondement r´eel, c’est un postulat. Cavalieri va innover : il va introduire le concept d’indivisible au XVIIe si`ecle. Il d´emontre que la diagonale d’un parall´elogramme le coupe en deux triangles ´egaux en utilisant les indivisibles. Chaque triangle travers´e par un segment a le mˆeme dans l’autre, donc ils sont ´egaux. Il prend bien soin de ne pas dire que triangle =

Il y a deux approches m´etaphysiques aux objets math´ematiques : l’approche platonicienne, o`u l’homme d´ecouvre les math´ematiques qui n’attendent qu’`a ˆetre d´ecel´ees, et l’approche constructive, o`u la soci´et´e construit les objets math´ematiques pour s’attaquer `a des probl`emes.

Parlons du calcul infinit´esimal, alias l’analyse. Son histoire a ´et´e marqu´ee par la maˆıtrise de l’infiniment petit qui forme une r´eussite colossale. Pour rappel, Cavalieri parle d’indivisibles : il peut faire une bijection entre les segments d’un triangle sur l’autre. Le calcule de 0 ¤1 n’a pas de sens `a l’´epoque, car empiler des segments d’´epaisseurs nulle donne une surface nulle, or, les r´esultats plus tard montreront que 0 ¤1 est ind´etermin´e.

Un concept important ´emerge : la d´erivation, invent´ee par Newton et Leibniz. Newton invente le calcul diff´erentiel et int´egrale se basant sur ce qui existait d´ej`a lors de son Annus Mirabilis. Il va s’int´eresser `a la mesure de surfaces, et va d´ecouvrir des r`egles sur le calcul d’int´egrales d´efinies. Une question va beaucoup le tracasser : on somme des indivisiblse au sens de Cavalieri.

Leibniz est un esprit remarquable. En voyage `a Paris, il d´ecouvre des travaux de Pascal sur les d´eriv ´ees, et va lancers des recherches dans ce domaine. En 1685, Leibniz publie ses r´esultats, et ce sera une raisons opur la publication anticip´ee des principes de Newton. Leibniz introduit la notation int´egrale et

Bernouilli aidera `a la r´epandre. Newton utilisait des notations qui ne faisaient pas apparaitre les ´el´ements infinit´esimaux. Euler utilisera plus tard ces outils pour ´etudier les fonctions.

En Anglettre, Newton a une telle emprise, mˆeme apr`es sa mort, que les math´ematiciens anglais restent dans sa trace sans ´elargir leurs horions. Ceci se traduit par un blocage au niveau de la notion d’infinit´esimale d’indivisible. Newton eut du mal avec ceci. Pour contourner le probl`eme, il parle de fluxions et fluentes. Les fluentes sont des fonctions de variables ind´ependantes, et les fluxions sont les “vitesse instantan´ees” des variables par rapport au temps.

Cette difficult´e de Newton sera s´ev`erement critiqu´ee, notamment par le philosophe Berkeley, qui dit que les math´ematiciens ne savent mˆeme pas d´efinir la vitesse instantan´ee, et qu’ils ne peuvent alors discuter de th´eologie, “science tellement plus compliqu´ee”.

Newton introduit la m´ethode des derni`eres raisons (raisons = rapport) des quantit´es ´evanouissantes (qui tendent vers z´ero). Cette approche est proche de la moderne.

Augustin Cauchy (1789-1857) ´etudie notamment les fonctions `a variables complexes. Il va rigoureusement d´efinir la d´eriv´ee : c’est la limite d’un rapport. On ne fait plus intervernir d’infiniments petits, et la notion de limite est intuitive.

Weierstrass (1815-1897) tente de d´efinir l’analyse `a partir de l’arithm´etique, c’est l’arithm´etisation, o`u on travaille `a partir des nombres r´eels, o`u il n’y a pas d’infiniment petit. L’id´ee de Weierstrass est qu’on ne fait rien tendre vers z´ero, mais si on lui donne un nombre, il peut toujours en construire un plus petit.

Les nombres sont construits `a partir de la th´eorie des ensembles. Les nombres sont la base mˆeme de l’arithm´etique. La th´eorie des ensembles permet de construire de mani`ere abstraite les naturels. On axiomatise l’arithm´etique : `a partir des ensembles, on peut construire toutes les math´ematiques. Hilbert (1862-1943) veut red´efinir la g´eom´etrie de mani`ere axiomatique tout `a fait abstraite pour se d´ebarasser de l’intuition. L’axiomatisation veut rentre les maths les plus abstraites possible. L’axiomatisation causera des bagarres violentes entre nations (´epoque nationaliste), o`u les Anglais, Fran¸cais et Allemand s’attaqueront mutuellement. Les axiomatistes ne parlent que d’objet qu’ils savent construire.

Et pour l’infini grand ? Remontons `a la Gr`ece antique. Les aporise de Z´enon butaient sur l’infiniment divisible. Les Grecs voient l’infiniment grand comme contradictoire. Prenons une droite infinie, si on en retire un bout, elle devient soit fini, soit infinie. Un segment de 10cm et un de 20cm ont une infinit´e de points, pourtant ils n’ont pas la mˆeme longueur, c’est paradoxale. Les Grecs n’utilisent jamais l’infini dans leur d´emonstration. Un cercle n’est pas un polygˆone `a nombre infini de cˆot´es. Comment Aristote r´epond-t-il aux apories de Z´enon ? `A l’impossibilit´e du mouvement ? Il le fais de mani`ere subtile : il y a deux fa¸cons d’ˆetre : ˆetre en acte (actuellement, en r´ealit´e) et ˆetre en puissance (ce qui peut devenir, le potentiel). L’infini existe de mani`ere potentielle, car on y arrive jamais, mais n´eanmoins, il pourrait exister car on peut toujours augmenter une quantit´e. L’infini n’existe pas en acte, car un polygone `a nombre infini de cˆot´es n’est pas possible.

L’espace non plus n’est pas infini. Le cosmos a un centre du monde, et un univers infini n’a pas de centre. N´eanmoins, l’espace est infini dans le temps. Contradiction ? Non, dit Aristote, car le pass´e est pass´e et ne coexiste pas avec le pr´esent. On n’est pas un infini en acte, car seul le pr´esent existe. Pass´e et futur ne coexistent pas avec l’actuel.

Au Moyen-ˆAge, on a divers courants ; l’infinie sera valoris´e notamment chez les Arabes. Cette valorisation sera li´ee `a la toute-puissance de Dieu, et devient une caract´eristique de ce dernier. Quelles sont les propri´et´es de Dieu ? Peut-on d´enombrer ses qualit´es ? Dire que “Dieu est grand” le rend en de¸c`a de ce monde, alors qu’il le transcende ; c’est trop limitatif : Dieux n’est pas fini, il est infini, et l’infini devient un attribut positif (oppos´e au n´egatif du non fini grec).

L’infini est-il plus grand que ses parties ? si le monde ´etait infiniment ancien, on aurait un nombre infini de rotations du Soleil autour de la Terre, et la Lune tout autant. Pourtant, la lune tourne 12 fois plus autour de la Terre, d’o`u l’absurdit´e pour l’´epoque. Ceci est pris comme une preuve de la finitude du monde comme le dit la Bible. C’est donc une solution th´eologique. “Comparer Soleil et Lune n’est pas correcte, c’est comme comparer pommes et poires”. C’est une des discussions men´ees `a l’´epoque de Galil´ee. Autre probl`eme : il y aurait une infinit´e d’ˆames au Paradis, o`u mettre tout le monde au Jugement Dernier ? On r´eplique que le monde spirituel n’est pas d´enombrable, n’est pas mat´eriel. Si Dieu est infiniment bon, il a fait une infinit´e de monde avec une infinit´e d’humanit´es pour que tout le monde soit heureux.

Galil´ee constate quelque chose au sujet des nombres d’entiers : `a chaque nombre correspond un pair (son double), et `a chaque paire correspond un nombre (sa moiti´e). Il dit que “notre fa¸con de penser n’est peut-ˆetre pas applicable `a l’infini”. Ceci contien la germe de ce qui va se passer au XIXe si`ecle avec Cantor notamment.

Quand on se donne un syt`eme d’axiomes, est-ce que ces axiomes de d´epart sont-ils coh´erents, ou peuvent-ils mener `a des contradictions. Le math´ematicien allemand G¨odel d´emontre qu’on ne peut d´emontrer au sein d’un syst`eme d’axiomes, que ce dernier est coh´erent. On ne peut montrer la coh´erence de la base des math´ematique : l’arithm´etique. C’est une d´ecouverte fracassant du XXe si`ecle. L’axiome du choix est ind´ecidable : on doit choisir soit oui, soit non. Le XXe si`ecle donne donc un coup aux math´ematiques, qui ne sont plus la base rigoureusement solide qu’on pensait, `a cause de tous ces probl`emes ind´ecidables.

Qu’est-ce qu’un un nombre ? La notion vient du d´enombrement, et les nombres sont au d´ebut des entiers strictement positifs, c’est une d´emarche naturelle. Tr`es vite, on ´elargit ce concept de nombre pour inclure les fractions enti`eres (1 au num´erateur). On vient ensuite aux rationnels. Les “anciens” s’arrˆetent l`a (Egyptiens, Sum´eriens...).

En Gr`ece, Pythagore r´epond aux physiologuqes ioniens (Qu’est-ce que le monde autour de nous ?) : tout est nombre, tout chose a son nombre. Ces nombres sont importants, car ils sont li´es au divin de par leurs propri´et´es miraculeuses, mise en ´evidence par les phythagoriciens.

Les Arabes vont amener les chiffres, le 0 et l’alg`ebre. Les chiffres arabes sont en fait indiens. Il y avait 10 chiffres : les 9 attendues et un chiffre “vide” permettant d’exprimer des nombres grands en num´erotation de position. C’est diff´erent d’admettre z´ero comme un nombre, et ce n’est pas fait par les math´ematiciens arabe. Cette r´evolution vient plus tard. Le 0 n’est ici pas un objet math´ematique. L’alg`ebre d’Al-Khwarizmi, de la maisson de la Sagesse de Bagdad au IXe si`ecle, est nouvelle branche des math´ematiques. Il travaille sur les ´equations du 2em degr´e, et donne des m´ethodes de r´esolution de telles ´equations, appell´es algorithmes. Il va d’abord classes les ´equations du 2em degr´e. Remarque : ax2 + bx + c = 0 n’est pas du tout ce qu’Al-Khwarizmi voyait quand il pensait a des ´equations du 2em degr´e. Pour lui, un telle ´equation est par exemple : “le carr´e et sept fois sa racine font 8”. La notation moderne est bourr´ee d’abstraction, fruits d’une tr`es longue ´evolution. De plus, les coefficients sont r´eels. Al-Khwarizmi utilise des coefficients entiers positifs, et ne prend que les racines rationnelles positives.

Notons que les Sum´eriens savent r´esoudre des ´equations du 2em degr´e sans savoir qu’ils en font, tandis qu’Al-Khwarizmi, lui, le sait, et propose des algorithmes de r´esolution pour chaque classe d’`equation. Le simple fait de classer n´ecessite la compr´ehension du concept d’´equations. Si il a l’´equation 2x2 + 100 − 20x = 58, Al-Khwarizmi emplie sa m´ethodologie nouvelle, l’alg`ebre, pour la remener `a une de ses six classes.

Il d´emontre la validit´e de ses algorithmes en forme de textes. Il en fait une d´emonstration g´eom´etrique. Il n’accepte que les racines positives. Il rejette les racines n´egatives, car un cˆot´e de carr´e de longueur n´egative n’a pas de sens, pas plus que le z´ero, le n´eant, qui n’existe pas de toutes fa¸cons. N´eanmoins, les Arabes parviennent `a fournir une folle quantit´e de r´esultats malgr´e ces limitations. Omar Khayyam s’attaque aux ´equations du 3em degr´e : x3 +ax2 +bx+c = 0. Il substitue x2 = 2py, et voit l’´equation comme l’intersection entre cette parabole et une hyperbole 2pxy + 2apy + b2x + c3. Saut ensuite vers la Renaissance italienne, o`u on a progress´e dans les notations. L’alg`ebre s’est d´evelopp´e en dehors des universit´es italiennes. Dans les ann´ees 1300-1400, il y a une explosion de banques. qui dit banques, dit calcul. Les comptables vont inventer la comptabilit´e `a entr´ees doubles et s’inventent des notations : +, =. De plus, on travaille avec les nombres n´egatifs (perte = moins un b´en´efice). Le milieu bancaire est s´epar´e du milieu intellectuel, on voit surgir cette math´ematique pratique.

A cette ´epoque sont lanc´es des d´efis math´ematiques. Tartaglia d´ecouvre une mani`ere de r´esoudre la racine de l’´equation du 3em degr´e, la confie `a Cardano. L`a o`u ¸ca devient int´eresasnt, est que son algorithme donne des r´esultast parfois incroyables, o`u on se trouve avec des racines de n´egatifs. Bombelli a une pens´ee sauvage : il va traiter p −1 comme un vrai nombre, ce qui est contre toute rigueur, c’est scandaleux. N´eanmoins, son syt`eme marche ! D`es lors, on utilise et on admet p −1, du moins lors des calculs interm´ediaire. La pratique oblige `a reconnaˆıtre de nouveau types de nombres. Le nombre dit imaginaire p −1 n’a donc pas ´et´e invent´e par les math´ematiciens, il a ´et´e reconnu pour sa pr´esence dans la pratique.

Les nombres n´egatifs viennent donc avec les banques, `a la mˆeme p´eriode que

−1 qui conforte le concept de nombre n´egatif. D`es lors, le z´ero entre en jeu comme la charni`ere entre positifs et n´egatifs.

Un des plus grands effort du XVIIIe si`ecle est le classement des fonctions par Euler. Au XVIIIe naˆıt l’analyse. Les choses se passent de mani`ere tr`es empirique. On travaille sur l’intuition : il y a une continuit´e dans les solutions d’´equations ;

Le XIXe si`ecle met de la rigueur. On se pose la question de la d´efinition des nombres entiers, des rationnels, des r´eels. Qu’est-ce que

Au XVII-XVIII, l’intuition r`egne en math, on accepte les choses sans les doner. Le XIXe est marqu´e par un gigantesque effort d’axiomatisation des maths, notamment de Dedekind et Cantor. Ils vont adopter la notion de coupure, grace `a laquelle ils vont d´efinir les r´eels `a partir des rationnels. On tente donc de d´efinir ce qui est admis dans la pratique parfois depuis des si`ecles.